Задача 1. Решите уравнение:

Решение. Домножим на знаменатель и упростим:

Решаем квадратное уравнение:

При x = 3, 2 - x = 2 - 3 = -1≠0.
При x = 1, 2 - x = 2 - 1 = 1≠0.
Оба решения подходят.

Ответ. x = 3, x = 1.

Комментарий. Квадратное уравнение можно решать разными способами.
В любом случае, важно проверить, что для найденного решения знаменатель дроби (в исходном уравнении) не равен нулю.

Задача 2. Решите систему неравенств:

Решение.

< (например, потому что < 1, а > 1).

Изобразим решения неравенств на числовой оси (желтый и синий цвет соответственно).

Пересечение этих решений (зеленый цвет) даст решение системы.

Ответ. x < .

Комментарий. Здесь после упрощения остается система из двух неравенств, направленных «в одну сторону». В таком случае одно из неравенств (x < ) оказывается «более сильным» и «поглощает» второе неравенство (x ≤), «более слабое» (понятно, что если x < , то тем более x ≤). Это «более сильное» неравенство и остается в ответе.

Также можно использовать десятичные дроби и записать ответ как x < 0.8.

Задача 3. Упростите выражение и найдите его значение при x = -2, y = 3 и z = :

Решение.

При x = -2 и y = 3:

Комментарий. Деление дробей сразу преобразуем в умножение. У первой дроби в числителе можно заметить квадрат суммы, в знаменателе вынести y за скобку. В числителе второй дроби можно вынести за скобку 4. Наконец, умножая дроби, можно сократить x + 5 и еще z - 3.

Задача 4. Найдите площадь изображенной на рисунке фигуры.

Решение. Площадь трапеции S = ⋅ h.
Основания a = 6, b = 3 (идут по вертикальным линиям).
Высота h = 5 (красная горизонтальная линия).

Комментарий. Здесь нужно проявить некоторую нешаблонность мышления, опознать трапецию, основания которой идут не горизонтально, а вертикально. Тогда высота будет идти горизонтально. Длины оснований и высоты легко считаются по клеточкам.

Задача 5. Коля сдаст экзамен по математике с вероятностью 0.75, а экзамен по русскому языку – с вероятностью 0.84. Процессы сдачи экзамена по разным предметам независимы друг от друга. С какой вероятностью Коля провалит оба экзамена?

Решение. Событие A - Коля не сдал экзамен по математике.
Событие B - Коля не сдал экзамен по русскому языку.
Коля провалил оба экзамена - событие AB.

Ответ. P = 0.04.

Комментарий. События «Коля сдал экзамен» и «Коля не сдал экзамен» (по тому же предмету) - противоположные. Вероятность одного из них можно получить, вычитая из 1 вероятность другого. Так мы находит P(A) и P(B).

Совместное осуществление событий A и B называется произведением этих событий и обозначается AB.

Процессы сдачи экзаменов по разным предметам независимые, поэтому события A и B независимые. Тогда вероятность их произведения можно вычислить по формуле P(AB) = P(A) ⋅ P(B).

Задача 6. Плот спускается вниз по реке от города A до города B за 10 часов. Катер проходит тот же маршрут за 2 часа 40 минут. Скорость катера в неподвижной воде 11 км/ч. Какова скорость течения реки?

Решение. S – расстояние от A до B (км), v – скорость течения (км/ч).

Маршрут плота: скорость v; время 10 ч

Маршрут катера: скорость 11 + v; время 2 ч 40 мин = ч

Приравняем:

Ответ. 4 км/ч.

Комментарий. Логично обозначить буквами не только скорость течения (которую надо найти), но и неизвестное расстояние.

Классическую формулу s = v ⋅ t мы применяем два раза: для плота и для катера. Итого, мы получили два разных выражения для расстояния S. Приравняв эти выражения друг к другу, мы далее исключаем S и получаем уравнение с одной неизвестной v. Так как надо найти именно v, решив уравнение, мы получим ответ.